Us porto una entrada sobre la caiguda lliure amb fregament, un tema que tots coneixem i hem explicat a classe, però del que no havia parlat gaire aquí malgrat que el tenia en cartera des de fa més de deu anys (2012), quan Felix Baumgartner va fer aquell salt des de l’estratosfera.
Quan es deixa caure un cos aquest baixa, però com ho fa? La resposta depèn radicalment del medi pel qual travessa l’objecte. La física clàssica, en la seva formulació ideal, ens diu que dos cossos en caiguda lliure (és a dir, sotmesos únicament a l’acció de la gravetat) arriben a terra al mateix instant independentment de la seva massa. Ho va intuir Galileu al segle XVI rodant esferes per plans inclinats per alentir el moviment i poder-lo mesurar amb precisió, i ho va verificar David Scott el 1971 a la superfície de la Lluna: una ploma d’àguila i un martell de geòleg van impactar la pols lunar simultàniament, davant les càmeres de l’Apollo 15.
El clàssic vídeo de Brian Cox a la cambra de buit més gran d’Europa (el Space Power Facility de la NASA) ho mostra de forma espectacular ja que una ploma i una bola de bitlles cauen a l’uníson quan s’extreu l’aire, però que tan bon punt s’obre la vàlvula i l’aire torna a omplir la cambra, la ploma es balanceja i cau molt més lentament. La raó? Un fluid invisible però terriblement real: l’atmosfera.
En el nostre dia a dia, cap objecte cau realment lliure en el sentit Galileà, perquè sempre estem submergits en un fluid (l’aire) que exerceix forces de fricció i d’empenta, encara que es poden minimitzar els seus efectes, com fem tradicionalment a classe quan comparem com cauen a l’hora un full de paper i una pilota o un llibre.
Moltes vegades ens quedem en aquesta simplificació i l’alumnat ja considera una veritat que si l’objecte es suficientment aerodinàmic ja caurà lliurement amb l’acceleració de la gravetat. Com a mostra el botó d’aquest vídeo on la noia afirma molt convençuda que les tres pilotetes (goma, cel·lofana, plàstic) cauen totes igual, quan en una captura de pantalla del vídeo es veuen clarament les diferències.
Amb aquesta excusa a continuació us parlaré de la influència del medi en el que cauen els objectes i com la massa, la forma, la densitat i fins i tot el gir del cos alteren prou la seva forma de caure i com d’interessant és la física associada.
- Caiguda a l’aire: El fregament aerodinàmic i la velocitat límit
- Caiguda d’objectes singulars
- Caiguda a l’aigua
- Una mica de resum
Caiguda a l’aire: El fregament aerodinàmic i la velocitat límit
El Fluid Invisible
L’aire no és el buit, és un fluid amb una densitat ρ ≈ 1,29 kg/m3 a nivell del mar i una viscositat dinàmica η ≈ 1,8·10-5 Pa·s. Quan un cos es desplaça a través seu apareix una força de fricció o arrossegament aerodinàmic que s’oposa al moviment. En règim turbulent (que és el cas de la majoria d’objectes que cauen a l’aire, ja que normalment el nombre de Reynolds és >4000), aquesta força és proporcional al quadrat de la velocitat:
On, Cx (Cd) és el coeficient aerodinàmic d’arrossegament (adimensional), ρ és la densitat del fluid (aire: 1,29 kg/m3, aigua: 1000 kg/m3), S és l’àrea transversal o superfície projectada perpendicular al moviment (en m2) i v és la velocitat relativa entre el cos i el fluid.
Quan un fluid es mou ho pot fer en règim laminar o turbulent. El paràmetre clau que determina quin tipus de flux tindrem és el nombre de Reynolds (Re), un número adimensional que relaciona les forces d’inèrcia i les forces viscoses del fluid.
El nombre de Reynolds es calcula mitjançant la fórmula:
On: ρ és la densitat del fluid, v és la seva velocitat, L la amplada o diàmetre (per exemple, el diàmetre d’una canonada, encara que en el nostre cas serà el diàmetre de l’objecte que cau) i μ viscositat dinàmica del fluid.
Quan l’equació dona valors baixos (per a fluxos dins de canonades, es considera laminar si Re < 2300) el fluid llisca de manera uniforme, el moviment és ordenat, suau i estratificat ja que les seves partícules es desplacen en capes paral·leles sense barrejar-se entre elles, formant una trajectòria contínua.
Quan les partícules del fluid es mouen de forma caòtica, desordenada i formant remolins i hi ha una gran barreja transversal entre les diferents capes del fluid es diu que el règim és turbulent. Es dona per a valors elevats del nombre de Reynolds (per a fluxos dins de canonades, es considera turbulent si Re > 4000). Entre mig (2300 – 4000) el règim és de transició i el flux pot alternar de manera inestable entre comportaments laminars i turbulents.
La taula següent recull valors aproximats del coeficient aerodinàmic per a diverses geometries, des de formes tridimensionals bàsiques fins a objectes reals, i il·lustra la importància de la forma d’atac en el fregament aerodinàmic.
Com podeu comprovar, la forma del cos és crítica ja que un cos aerodinàmic (una bala, un cotxe de Fórmula 1) presenta un Cx baix, mentre que un cos amb una gran superfície frontal (un paracaigudes obert, un filtre de cafè) té un Cx elevat i, per tant, una força de fregament molt més gran.
Equilibri de forces i velocitat límit
El Principi Fonamental de la Dinàmica (segona llei de Newton) aplicat a un cos en caiguda vertical dins d’un fluid estableix:
On E = ρfluid·V·g és l’empenta d’Arquimedes. Per a objectes densos en aire E és menyspreable però per a cossos lleugers o voluminosos pot jugar un paper rellevant.
A mesura que l’objecte accelera cap avall, v augmenta i la força de fregament (Fr ∝ v2) creix ràpidament amb ella mentre que el pes (p = mg) roman constant. Arribarà un moment en què:
En aquest punt, la força resultant és zero, l’acceleració s’anul·la, i el cos es desplaça amb velocitat constant, la velocitat límit o velocitat terminal. Aïllant:
El temps necessari per assolir la velocitat límit en condicions ideals d’acceleració constant g és el temps característic:
A la pràctica, durant els primers tc/2 segons, el moviment és pràcticament uniformement accelerat, v ≈ g·t, i a partir d’aquí l’acceleració comença a disminuir perceptiblement fins a anul·lar-se.
Calculem ara els valors teòrics per a un paracaigudista de 75 kg en posició d’arc (Cx = 0,80, S = 0,60 m2):
És a dir, que si caus d’un penya-segat sense paracaigudes pots arribar a terra a 200 km/h com a mínim. El temps característic corresponent és tc = 54,5/9,81 ≈ 5,6 s). Per tant, durant els primers gairebé 3 segons el paracaigudista cau com si estigués al buit, però a partir d’aquí la fricció llasta l’acceleració progressivament.
Quant de temps es necessita per arribar a la velocitat límit?
La resposta ràpida és que el temps pràctic per assolir la velocitat límit és proporcional a la mateixa velocitat límit. Com més alta sigui la velocitat límit d’un objecte, més temps necessitarà per arribar-hi. En teoria un objecte mai pot arribar a assolir exactament el 100% de la seva velocitat límit, això sí, s’hi va acostant cada vegada més a mesura que cau (és una asímptota). L’equació de la velocitat en funció del temps és:
On t és el temps i τ (= tc) és la constant de temps. Si volem que v(t) = vt, el terme exponencial hauria de ser zero, i això només passa quan el temps (t) és infinit.
A la pràctica podem considerar que un objecte ha arribat a la seva velocitat límit quan n’assoleix un percentatge molt alt, típicament el 99%. Anem a calcular quant de temps (t99%) triga a arribar a aquest 99% de vt, substituint el valor a la formula i operant:
Obtenim el temps:
Això ens diu que qualsevol objecte triga aproximadament 4.6 vegades el temps característic (la seva constant de temps, τ = tc) a estabilitzar pràcticament la seva velocitat.
Ja hem vist que la constant de temps i la velocitat límit estan connectades per la gravetat, (τ = vt/g). Si substituïm això a la nostra conclusió pràctica, obtenim la relació directa que busquem:
Atès que la gravetat (g) és una constant fixa per a tots els objectes, la fórmula ens mostra que el temps necessari per arribar a la velocitat límit depèn exclusivament de la magnitud d’aquesta velocitat límit.
Per exemple, com que la velocitat límit d’una gota de pluja és petita (7 m/s), trigarà molt pocs segons a estabilitzar-se (aprox. 3,3 s), i en el cas d’un paracaigudista tancat, com que la seva velocitat límit és molt alta (54,5 m/s), necessitarà molt més temps caient en lliure per arribar a aquest topall (aprox. 25,6 s).
L’Experiment dels filtres de cafè
Paul Doherty, del Exploratorium de San Francisco, va popularitzar a l’article Terminal Velocity (2000) un experiment molt didàctic amb filtres de cafè amb forma de cistella. La gràcia d’aquest experiment està en la seva simplicitat, ja que en apilar filtres, es duplica la massa sense modificar l’àrea transversal, S, la qual cosa permet aïllar l’efecte de la massa sobre la velocitat límit.
Doherty deixa caure un sol filtre de cafè des d’1 m d’alçada i cronometra el temps de caiguda, després prepara piles de 2, 3 i 4 filtres (idèntica àrea, S, massa doble, triple, quàdruple) i troba l’alçada més o menys a ull des de la qual cal deixar caure cada pila de filtres perquè impacti a terra simultàniament amb el filtre simple des d’1 m.
La pila doble impacta a terra al mateix temps que el simple des d’1 m quan es deixa caure des d’aproximadament 1,4 m i la pila quàdruple des d’aproximadament 1,8 m. Com que el temps de caiguda és el mateix per totes, la pila múltiple cau a una velocitat mitjana més gran.
Hem vist que la velocitat límit és proporcional a √m. Per tant, en duplicar la massa s’incrementa vlim en un factor √2 ≈ 1,41, cosa que explica que la distància recorreguda en el mateix interval de temps sigui un 41% més gran.
En representar vlim en funció de l’arrel quadrada del nombre de filtres (proporcional a la massa) en un full de càlcul, el pendent de la recta de tendència és ½, el que confirma experimentalment la relació vlim ∝ √m.
La versió original de Paul Doherty emprava cronòmetres manuals, però jo sempre ho he fet amb el meus alumnes enregistrant les caigudes de les safates (la major part de les vegades conus fets amb paper) amb una webcam, una càmera de vídeo o un telèfon mòbil i després analitzaven el vídeo fotograma a fotograma amb el programari lliure Tracker.
De Tracker us he parlat moltes vegades ja que és un software extraordinari que permet marcar manualment la posició del filtre en cada fotograma i obtenir automàticament les corbes y(t) i v(t). A partir d’aquestes dades es pot ajustar la component vertical de v(t) per determinar vlim amb incerteses molt menors que amb cronòmetre, i verificar la relació vlim ∝ √m.
L’Experiment amb pilotes de tenis
Un equip d’estudiants de l’IES Victoria Kent (Torrejón de Ardoz) va dissenyar un experiment tant elegant com l’anterior amb dues pilotes de tenis idèntiques en volum i forma, però amb masses molt diferents (60 g vs. 220 ó 180 g), deixades caure des de 6,5 m, 12 m i 24 m d’alçada. Una pilota era tal qual i l’altra l’omplien de sorra, de manera que aquesta última arribava a terra sempre abans.
El problema d’aquesta proposta dels estudiants està en l’explicació que realitzen de les diferències d’acceleració entre les pilotes en la que proposen la influència de l’empenta com a causa principal, i no en la diferència de pes de les pilotes a igualtat de tots els altres paràmetres.
Si es filma la caiguda amb la càmera fixa tot davant de la trajectòria de les pilotes, sempre es pot fer a continuació un tractament quantitatiu de la caiguda i no només veure si una pilota cau abans que l’altra.
Caiguda d’objectes singulars
Ara ve una mica de xafarderia sobre algunes caigudes especials.
Els gats cauen com a paracaigudistes
Els gats domèstics presenten un cas fascinant de velocitat límit adaptativa. Un gat de mida mitjana en caiguda lliure assoleix una velocitat terminal d’aproximadament 97 km/ (uns 27m/s). La seva àrea transversal, S, quan estén les potes horitzontalment maximitza la resistència aerodinàmica, actuant com un paracaigudes natural.
El comportament contraintuïtiu (del que es fan ressò les xarxes) de que els gats pateixin menys lesions en caure des de 7 a 32 pisos que des de 2 a 6 pisos, que te el seu origen a l’estudi High-rise syndrome in cats (1987), publicat al Journal of the American Veterinary Medical Association, pot tenir una explicació física directa ja que en caigudes curtes el gat no arriba a la velocitat límit, encara que impacta amb una velocitat substancial i no ha tingut temps d’adoptar la postura de relaxació òptima, mentre que en caigudes des de més grans altures, el gat te temps de relaxar-se, modificar la superfície corporal i assolir la vlim i, en impactar, dissipar l’energia cinètica que porta sobre una àrea més àmplia, reduint la pressió local sobre els òrgans vitals. També pot ser que molts dels gats que cauen de tant alt moren en el xocs i ja no els hi portaven al veterinari, de manera que no participaren de l’estudi 😉.
Per ampliar el coneixement amb una mica d’humor sobre la caiguda dels gats en l’aire podeu mirar-vos l’entrada Paradoxa del gat amb mantega.
Caiguda de bales
Quan una bala és disparada verticalment a l’aire, a uns suposem 350 m/s, por arribar verticalment a uns 800 o 1000 m, moment en el que ha perdut la seva energia cinètica de translació i torna a caure. De totes maneres l’altura que assoleix una bala no prediu la velocitat amb la que tornarà a terra ja que serà frenada per l’aire fins assolir una velocitat límit en uns 150 m.
Les bales modernes, allargades i amb ànima estriada, giren al voltant del seu eix longitudinal a velocitats de rotació de 104 a 105 rpm. Aquesta rotació genera un moment angular (L = I·ω) considerable que estabilitza giroscòpicament el projectil, mantenint el morro apuntat cap endavant. Part d’aquesta energia de rotació pot romandre en arribar a dalt del tot i mantenir-se en la caiguda. Per això, en el descens, la bala pot presentar dues configuracions:
Caure de manera estabilitzada, quan el morro apunta cap avall i continua girant una mica. Aquí la bala presenta un Cx mínim (forma aerodinàmica) i la velocitat límit de retorn pot assolir els 160-240 km/h, suficient per penetrar la pell humana. Al Mon hi ha contínuament morts per aquesta rucada de disparar a l’aire (ja no dic res per disparar amb una certa inclinació o en horitzontal!). No teniu més que buscar al navegador i surten moltes notícies al respecte.
Caure de forma desestabilitzada, quan el gir és insuficient o es perd l’alineació i la bala trontolla, de manera que la seva àrea transversal efectiva augmenta dràsticament, el Cx es dispara, i la velocitat terminal pot caure per sota dels100 km/h, reduint substancialment la seva perillositat.
Gotes de pluja
Les gotes de pluja presenten un doble règim físic depenent de la seva mida. Quan les gotes son petites (r < 0,1 mm) el nombre de Reynolds és baix (Re<<1) i el flux al seu voltant és laminar. En aquest règim, la força de fregament ve descrita per la Llei de Stokes, on la força de fregament és lineal en v, no quadràtica:
La velocitat terminal s’obté igualant
i resulta:
Quan les gotes son grans (r > 1 mm) (quan diem que plou) el règim és turbulent (Re > 1000), la llei de Stokes deixa de ser aplicable i la força de fregament segueix la dependència quadràtica Fr ∝ v2.
Un equip d’estudiants de 1r de Batxillerat, entre els que es trobaba Luis Alfonso Talegón, va dissenyar (2010) un muntatge experimental per mesurar la velocitat límit de gotes d’aigua en aire que van plasmar al treball Determinación experimental de la velocidad de caída de la lluvia, mediante un modelo construido en el laboratorio. En el muntatge van utilitzar un disc estroboscòpic de període conegut (T = 0,058 s), una càmera digital i un fons negre (les gotes es tenyien amb llet desnatada per augmentar el contrast), i van fotografiar la trajectòria completa de les gotes des de 5 m d’alçada.
Les imatges estroboscòpiques revelaven múltiples posicions de la mateixa gota en un sol fotograma, permetent mesurar desplaçaments i intervals de temps. El tractament de dades mitjançant full de càlcul els va permetre determinar que la velocitat límit mitjana era de:
Un valor que coincideix notablement amb les estimacions teòriques per a gotes d’aproximadament 2-3 mm de diàmetre, i que constitueix una estimació excel·lent per a la velocitat de caiguda de la pluja fina en atmosfera en calma.
És molt més fàcil, en lloc d’utilitzar un disc estroboscòpic, gravar la caiguda en vídeo i analitzar-la després amb Tracker. El procediment és anàleg al de l’alumnat de dat, només que una vegada fet el vídeo es pot estudiar fàcilment amb el programari. A més el Tracker permet superposar el model teòric de Stokes o el turbulent damunt de les dades experimentals per discernir quin règim regeix la caiguda.
Salt de persones
Com hem vist en un exemple al principi, la velocitat límit de caiguda d’una persona amb el braços i les cames esteses és d’uns 200 km/h, però què passa si la caiguda es realitza quan la densitat de l’aire és petita o molt petita?.
El cas límit de la caiguda d’un ésser humà a l’atmosfera és, sens dubte, el salt des de l’estratosfera. A altituds superiors a 30 km, la densitat de l’aire és tan reduïda que la velocitat terminal s’eleva molt per sobre dels valors habituals d’un paracaigudista en salt convencional.
Ja sabem que l’atmosfera no és uniforme i que la seva densitat decau exponencialment amb l’altitud segons el model d’atmosfera baromètrica:
On ρ0 ≈ 1,29 kg/m3 és la densitat a nivell del mar i H ≈ 8,5 km és l’alçada d’escala (l’increment d’altitud necessari perquè la densitat caigui un factor e). A 39 km d’altitud, la densitat és tan sols:
És a dir, cent vegades inferior a la densitat a nivell del mar. Recordant l’expressió de la velocitat límit en règim turbulent:
En reduir ρ en un factor 100, s’incrementa la vlim en un factor √100 = 10. Un paracaigudista de 75 kg amb Cx ≈ 0,80 i S ≈ 0,60, que a nivell del mar té vlim ≈ 54 m/s (196 km/h), a 39 km assoliria teòricament:
El que resulta una velocitat supersònica (la velocitat del so a l’estratosfera és d’aproximadament 320 m/s, o 1150 km/h). Tanmateix, el Cx varia amb el nombre de Mach (règim compressible), i la fórmula quadràtica deixa de ser exacta en règim transsònic i supersònic, on apareixen ones de xoc que alteren dràsticament el coeficient d’arrossegament (el Cx pot augmentar fins a 1,0-1,5 en creuar la barrera del so). Malgrat això, la densitat és tan baixa que la velocitat terminal supera àmpliament la velocitat del so.
En relació a aquests números dels que hem parlat tenim tres salts de persones des de l’estratosfera que han esdevingut fites històriques. En particular el salt de Felix Baumgartner va ser una mina per estudiar mecànica amb els meus estudiants.
Joseph Kittinger (Project Excelsior, 1960): El pilot i metge de la Força Aèria dels EUA va saltar des d’un globus d’heli a 31,3 km d’altitud. Durant la caiguda lliure, va assolir una velocitat màxima d’aproximadament 274 m/s (988 km/h), a només un 13% de la velocitat del so a aquella altitud. Kittinger va emprar un petit paracaigudes estabilitzador per evitar un tomb excessiu i mantenir l’orientació, la qual cosa va limitar la seva velocitat màxima. La caiguda lliure va durar 4 minuts i 36 segons, i va establir rècords que van perdurar durant dècades.
Felix Baumgartner (Red Bull Stratos, 2012): El saltador austríac va superar Kittinger saltant des de 39,0 km d’altitud. Baumgartner portava un vestit pressuritzat i un casc amb visera transparent, essencials per a la supervivència a l’estratosfera (temperatura de -70 ºC i pressió atmosfèrica inferior a l’1% de la terrestre). Va assolir una velocitat màxima de 377 m/s (1357 km/h), equivalent a Mach 1,25, convertint-se en el primer ésser humà a trencar la barrera del so en caiguda lliure sense assistència mecànica. La caiguda lliure va durar 4 minuts i 20 segons, i l’obertura del paracaigudes es va produir a 2,5 km d’altitud.
Alan Eustace (Paragon Stratospheric Jump, 2014): L’executiu de Google va superar l’altitud de Baumgartner saltant des de 41,4 km, però ho va fer sense la càpsula pressuritzada de Baumgartner i va pujar simplement enganxat a un globus d’heli amb un vestit pressuritzat autònom.
Eustace va assolir una velocitat màxima d’aproximadament 320 m/s (1150 km/h), just al límit de la velocitat del so a aquella altitud, sense superar-la clarament. El seu rècord d’altitud continua vigent (2025), tot i que la velocitat màxima de Baumgartner es manté com la més alta assolida per un ésser humà en caiguda lliure.
Com hem vist, la velocitat terminal no és una propietat intrínseca del cos, sinó que depèn fortament de la densitat del medi. Un mateix paracaigudista pot tenir vlim ≈ 54 m/s a nivell del mar i vlim > 350 m/s a 40 km d’altitud. A mesura que es descendeix i l’aire es fa més dens, la velocitat disminueix i el cos es frena sense necessitat de desplegar un paracaigudes. En el cas de Baumgartner, la desacceleració màxima durant el pas per la tropopausa (≈ 15 km d’altitud) va arribar als 3 g a causa de l’augment sobtat de la densitat atmosfèrica.
Caiguda a l’aigua
Empenta d’Arquimedes, pes aparent i viscositat
L’aigua és aproximadament 800 vegades més densa que l’aire (ρaigua ≈ 1000 kg/m3 vs. ρaire ≈ 1,29 kg/m3), el que altera radicalment la dinàmica de caiguda per dos motius fonamentals:
Empenta d’Arquimedes (E = ρaigua·V·g). Per a un cos de densitat ρcos dins l’aigua el pes aparent és:
Si ρcos > ρaigua, el cos s’enfonsa; si ρcos < ρaigua, flota. Aquesta és la raó per la qual una esfera d’acer (ρ ≈ 7800 kg/m3) s’enfonsa mentre un vaixell d’acer buit (ρmitjana < 1000 kg/m3) sura.
Viscositat gran. La viscositat de l’aigua és unes 55 vegades la de l’aire (ηaigua ≈ 1,0·10-3 Pa·s vs. ηaire ≈ 1,8·10-5 Pa·s), el que implica que la força de fregament és, proporcionalment, molt més gran.
Arribada quasi instantània a la velocitat terminal
La conseqüència combinada d’una alta densitat del líquid (empenta significativa) i una alta viscositat (fregament enorme) és que la velocitat límit a l’aigua és baixa i s’assoleix en fraccions de segon. Un objecte que cau a l’aigua pràcticament no presenta fase d’acceleració apreciable: el moviment és, des del primer instant, rectilini gairebé uniforme.
La llei de Stokes (Fr = 6πηrv) és plenament aplicable per a esferes en règim laminar dins l’aigua. La velocitat terminal en aquest cas ve donada per:
Per exemple, una esfera d’acer de radi r = 1 mm (ρ ≈ 7800 kg/m3) aconsegueix a l’aigua:
Una velocitat irrisòria comparada amb els gairebé 200 km/h del paracaigudista a l’aire. La constant de temps d’accés a la velocitat terminal és τ = m/(6πηr) ≈ 2,3 ms, és a dir, la velocitat límit s’assoleix en mil·lisegons.
L’Experiment en tub i la correcció de Ladenburg
L’estudi de la caiguda d’esferes en aigua presentat a la secció anterior assumeix que el fluid és infinitament extens. A la pràctica, les esferes cauen dins d’un recipient finit (una proveta o un tub de vidre o de plàstic) i les parets del recipient interfereixen amb el flux al voltant de l’esfera, augmentant la fricció aparent i reduint la velocitat terminal respecte al valor predit per la llei de Stokes pura. Veiem el procediment experimental (en resposta al protocol de la Universitat de Buenos Aires):
- Es prepara un tub de plàstic (policarbonat, per exemple) marcat amb les seves dimensions d’aproximadament 1 m d’alçada i diàmetre interior D = 5 cm, ple d’aigua.
- Es deixen caure esferes denses (plom, acer o vidre) de diferents radis, r (per exemple de 1 a 5 mm) des de la superfície. Les esferes han d’estar netes i lliures de greix per evitar la formació de bombolles d’aire que alterarien el flux.
- Es grava en vídeo la caiguda de les boles amb un telèfon mòbil fixant-lo tot just davant del tub i a l’altura de la seva meitat.
- Amb el programari Tracker es punteja la bola i es calcula la seva velocitat límit.
La correcció de Ladenburg (Ladenburg, 1907, pag 453) quantifica l’efecte de les parets del recipient sobre la velocitat terminal. Per a una esfera de radi r que cau dins d’un recipient cilíndric de radi R:
On vlimStokes és la velocitat terminal predita per Stokes (equació que hem vist a dalt per a l’aigua) i k és el coeficient de Ladenburg, que depèn de la geometria del recipient. Per a un recipient cilíndric de radi R, k ≈ 2,1 (valor obtingut experimentalment per Ladenburg i confirmat per càlculs analítics posteriors).
El terme (1 + kr/R) és sempre major que 1, per la qual cosa la velocitat real és inferior a la de Stokes, és com si les parets frenessin l’esfera.
La presència de les parets modifica el camp de velocitats del fluid al voltant de l’esfera, ja que si en un fluid infinit les línies de corrent es tanquen a distància infinita, en un recipient finit les parets obliguen el fluid a circular per un espai restringit, incrementant el gradient de velocitats i, per tant, la tensió viscosa sobre l’esfera. L’efecte és més pronunciat com més gran és l’esfera respecte al diàmetre del recipient.
Si per exemple fem els càlculs per una esfera d’acer d’r = 1 mm en un tub de R = 2,5 cm:
S’obté una reducció del 8,1% respecte al valor de Stokes.
Si ho fem per a una esfera d’r = 5 mm:
La reducció és del 29,7%
Si disposem al laboratori de diverses boletes del mateix material i de diferent grandària, podem mesurar les respectives velocitats límit de caiguda en aigua i, representant les vlim mesurades en funció d’r/R, i tenint en compte l’equació de Ladenburg, podem determinar experimentalment el coeficient k del muntatge del laboratori.
Per fer-ho, com he proposat per l’experiment, el millor és enregistrar la caiguda de les esferes amb el mòbil i analitzar el vídeo amb Tracker. Es marca la posició de l’esfera en cada fotograma per obtenir y(t) i es fa l’ajust lineal del tram de velocitat constant (pendent de y(t)) de manera que obtenim la vlim per cada esfera.
Una mica de resum
La caiguda dels cossos en medi fluid és un fenomen prou interessant per treballar amb l’alumnat perquè permet tractar diversos aspectes de la mecànica en un marc conceptual i matemàtic accessible, a més de permetre fer petites recerques amb materials molt accessibles. Per concloure tenim:
- Que quan un cos cau per gravetat l’altura necessària al si d’un fluid arriba a aconseguir una velocitat límit com a conseqüència de l’equilibri entre la força motriu (pes) i les forces resistives (fricció + empenta).
- Que la massa de l’objecte sí que importa quan cau en un medi fluid, de manera que la velocitat límit és proporcional a l’arrel quadrada de la seva massa (vlim ∝ √m) en règim turbulent, o directament a ella (vlim ∝ m) si el règim és laminar. Galileu tenia raó al buit, però el món real és fluid.
- Que la forma dels objectes és un factor crític ja que condiciona el coeficient aerodinàmic Cx.
- Que si parlem de medis diferents se altera la dinàmica en varis ordres de magnitud a causa de la diferència en densitat i viscositat (per exemple, de l’aire a l’aigua de l’ordre de 102).
- Que quan s’experimenta en recipients finits és convenient considerar la correcció de Ladenburg ja que les parets dels recipient augmenten la fricció aparent i redueixen significativament la velocitat límit per a esferes “grans”.
- Que la filmació en vídeo dels experiments i el seu anàlisi posterior amb Tracker democratitza l’adquisició de dades precises, disminuint molt el cost dels muntatges per estudiar aquests fenòmens.
Experimentació lliure 