La major part dels números que s’usen a la ciència provenen de mesures i per tant només es poden conèixer amb certa incertesa experimental, que depèn de l’habilitat de l’experimentador i del sistema de mesura.

La incertesa d’un mesurament es pot il·lustrar amb el següent exemple. Volem mesurar la longitud d’un peix i disposem de dos regles, un dividit en cm i l’altre en mm. Usant el regle de sota (en cm) diríem que la longitud de la truita està compresa entre 20 i 21 cm; podríem estimar el seu valor en 20,5 cm. Amb el regle superior (en mm) el valor estaria comprès entre 20,3 i 20,4 cm estimant la seva longitud en 20,35 cm. Ambdues lectures contenen alguns dígits que coneixem amb exactitud i un dígit més, l’últim, que hi ha estat estimat. Encara que el regle superior és més precís que l’inferior, cap mesura és exacta.

–

L’expressió del resultat de la mesura no depèn únicament de l’aparell de mesura, també de les condicions amb què es du a terme la mesura. En l’exemple anterior, si el regle dividit en mm no pogués estar en contacte directa amb el peix, probablement no hauríem d’indicar la segona xifra decimal.

Si l’instrument de mesura té l’opció de canviar d’escala cal utilitzar aquella que ens permeti realitzar la lectura amb el nombre més gran de dígits. Per exemple si disposem d’un amperímetre amb escales de valor màxim 1 i 10 A, per a mesurar una intensitat de 0,6 A emprarem l’escala de fons 1 A. En instruments digitals expressarem el resultada del mesurament amb la totalitat de les xifres que ens dóna l’aparell havent triat prèviament l’escala més adequada.

Exactitud i precisió

En mesurar amb un aparell pot passar que doni valors dispersos o concentrats (precisió), prop del valor verdader, o no (exactitud). Els dibuixos de sota il·lustren aquestes dicotomies.

Exactitud i precisió dolentes http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truen_bad_prec_bad.png	Exactitud dolenta i precisió bona http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truen_bad_prec_ok.png
Exactitud bona i precisió dolenta http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truen_ok_prec_bad.png	Exactitud i precisió bones http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truen_ok_prec_ok.png

Incertesa i error

En puritat només es pot parlar d’error quan es coneix el valor verdader de la magnitud, per exemple per que ha estat obtingut prèviament amb molta exactitud i precisió, com és el número π (pi) o els valors comptats, 5 boles, per exemple. Normalment ens trobarem amb valors prèviament desconeguts i hauríem de parlar d’incertesa, però la meva tradició és parlar d’error i sortirà moltes vegades encara que no sigui rigorós.

Valor d’una variable i error probable

Quan només es realitza una única mesura, l’error absolut serà la sensibilitat de l’aparell, que és la divisió més petita de l’escala de l’aparell de mesura o, alternativament, la meitat d’aquesta divisió més petita. Per exemple, en el cas del peix i el regle en cm:

d = 20,5 ± 0,5 cm

La variable a mesurar pot comportar una incertesa (p.ex. el diàmetre d’un fil pot variar al llarg de la seva longitud), llavors la determinació del valor de la variable implicaria prendre un nombre de mesures N molt gran (mesurar el diàmetre cada mil·límetre, per exemple), al límit haurien de ser infinites, i prendre com a valor la mitjana aritmètica. S’assignarà com a valor V de la variable la mitjana aritmètica de les mesures realitzades Xi :

on el valor de   s’acosta tant mes al valor real com més gran és el nombre de mesures N. Aquesta és la raó de triar per a la nostra estadística una població de mesures suficientment gran en nombre. Segons la distribució estadística de Gauss,  és efectivament el valor més probable de la magnitud mesurada, perquè la suma dels quadrats de les desviacions és un mínim per a . La desviació estàndard, que es defineix com:

dóna una idea de la dispersió de les mesures al voltant del valor mitjà, és a dir, l’error de les mesures, que es pot calcular amb una calculadora científica, o amb un programa informàtic de tipus full de càlcul o d’estadística.

A partir d’aquesta magnitud es calcularà l’error probable e_p per mitjà de l’expressió:

e_p = f·S

sent f una funció que agafa valors que depenen del nombre de mesures efectuades i que sindiquen en la taula següent:

En realitat, en haver de prendre en compte els errors sistemàtics, s’ha de tenir en compte que l’error absolut més probable de la mesura és ΔX = e_p = max (f·S, p), on p és la precisió de l’aparell. Per exemple, si es tracta de mesurar una determinat longitud mitjançant un regle graduat en mil·límetres, l’error de la mesura vindria donat per la precisió de l’aparell, ja que repetits mesuraments de aquesta longitud donarien sempre el mateix resultat. No obstant això, si es tracta d’obtenir un determinat interval de temps amb l’ajuda d’un cronòmetre que mesura fins centèsimes de segon, l’error de la mesura vindria donat per la desviació típica, ja que en aquest cas repetits mesuraments donarien resultats diferents.

Per aparells analògics, la precisió de l’aparell es defineix com la meitat de la divisió més petita (per exemple, per un regle graduat en mil·límetres, la precisió és 0.5 mm). Per aparells digitals, la precisió de l’aparell ve donada per la ultima xifra significativa (per exemple, per a una balança digital que mesura fins dècimes de gram, la precisió de l’aparell és 0.1 g).

L’expressió del valor de la variable serà: 

   

havent d’expressar l’error probable, aproximat per excés, a una sola xifra significativa i la mitjana aritmètica amb l’ultima xifra significativa del mateix ordre que la de l’error. Per a això, si és necessari, s’efectuarà un arrodoniment de la mitjana aritmètica. Per a arrodonir, si el primer dígit a eliminar és menor que 5, aquest dígit i els següents simplement s’eliminen; si és major o igual que 5 tots els dígits següents s’eliminen i el valor de l’últim dígit s’incrementa en una unitat.

Exemples:

valor: 9,43                   error probable: 0,421            expressió: 9,4 ± 0,4

valor: 25,5165           error probable: 0,0059        expressió: 25,517 ± 0,006

Error absolut i relatiu

L’error absolut e_a del valor mitjà de la variable  serà el valor absolut de la diferència entre tal valor i el valor real V_R de la variable ja conegut i acceptat, el que moltes vegades no és possible conèixer i ens haurem de conformar amb l’error més probable:

sent l’error relatiu e_r el quocient:    e_r = e_a /V_R.

Que normalment s’expressa en tant per cent:       e_r = 100 · e_a /V_R.

Mesures directes i mesures indirectes

A l’hora de mesurar el valor d’una determinada magnitud es podem presentar dues opcions:

Que la mesura sigui directa, que és el cas que hem contemplat fins ara, on el valor és el resultat de la comparació amb una magnitud del mateix tipus. Per exemple, mesura de la longitud d’una taula amb una cinta mètrica.

Que la mesura sigui indirecta, on el valor de la magnitud es troba operant a través d’una expressió matemàtica amb diverses mesures directes o indirectes que prèviament s’han obtingut. Per exemple, per trobar el valor del volum d’un objecte prismàtic a partir de mesurar directament les seves tres dimensions (amplada(a), llargada(b) i alçada(h)) i d’utilització de l’expressió: V = a·b·h.

Propagació d’errors: Imprecisió en les mesures indirectes

Suposem que una mesura X es realitza indirectament a través de la mesura directa de dos magnituds, A i B, relacionades amb X mitjançant una funció X=f(A,B) i volem saber quin serà l’error de la magnitud X, coneixen les imprecisions de A i B (ΔA i ΔB).

És evident que aquest error dependrà del tipus de funció. El nivell de les matemàtiques emprades per trobar la relació pot ser diferent. Aquí ens acontentarem amb una aproximació simple a alguna de les relacions més senzilles, que després completarem amb un quadre resum del càlcul dels errors de les mesures indirectes que amb més probabilitat ens podem trobar.

Suma: X = A + B

El resultat de cadascuna de les mesures és: A ± ΔA i B ± ΔB.

X ± ΔX = (A ± ΔA) + (B ± ΔB) = (A + B) ± (ΔA + ΔB)

Per tant, la imprecisió de X serà:       ΔX = ΔA + ΔB

I l’error relatiu serà: e_r = ΔX/X = (ΔA + ΔB)/(A + B)

Diferència: X = A – B

X ± ΔX = (A ± ΔA) – (B ± ΔB) = (A – B) ± (ΔA + ΔB)

sent també la imprecisió de X la suma dels errors de A i B:     ΔX = ΔA + ΔB

I l’error relatiu serà: e_r = ΔX/X = (ΔA + ΔB)/(A – B)

Producte: X = A • B

X ± ΔX = (A ± ΔA) • (B ± ΔB) = (A • B) ± (A • ΔB) ± (ΔA • B) ± (ΔA • ΔB)

Si menyspreem (ΔA • ΔB) per donar un valor molt més petit que la resta de sumands, la imprecisió de X serà:

ΔX = (A • ΔB) + (ΔA • B)

I l’error relatiu, la suma dels errors relatius:

e_r = ΔX/X = [(A • ΔB) + (ΔA • B)]/(A • B) = ΔA/A + ΔB/B

Quadre pel càlcul d’errors amb les funcions que més sovint ens podem trobar

---