A la natura hi ha moments crítics en què un sistema ha de “triar” entre diferents camins, com son el d’un regle que es dobla sota pes, l’oli que comença a bombollar en una paella o un pont que col·lapsa sobtadament. En física i matemàtiques, a aquests moments de canvi qualitatiu en el comportament d’un sistema a causa de la variació d’un paràmetre (pes, temperatura, etc.) se’ls anomena bifurcacions.
Vaig descobrir la idea de bifurcació gràcies al professor Salvador Gil i el seu llibre Experimentos de física de bajo costo usando TICs, on explica què és el que pot passar quan fem girar un petit cilindre penjat d’un cordill, cas del que parlo a l’Experiment 3: Estudi d’una barra en rotació. A partir d’aquí he recopilat diferents situacions físiques que segur que molts de vosaltres ja coneixeu a les que se les pot aplicar el concepte de bifurcació, però que com jo mateix no havíem relacionat amb la idea de bifurcació.
De manera que en aquesta entrada introduiré dos dels tipus més fonamentals de bifurcacions, la supercrítica (un canvi suau i predictible) i la subcrítica (un salt abrupte i perillós), a través d’experiments senzills que es poden fer a casa o a un laboratori escolar de física de secundària.
- Bifurcació Supercrítica: La transició suau
- Bifurcació Subcrítica: El salt abrupte
- Quadre Comparatiu Resum
Bifurcació Supercrítica: La transició suau
Començarem per la bifurcació supercrítica (sovint anomenada bifurcació trident o pitchfork bifurcation) que és un dels fenòmens més elegants de la dinàmica no lineal. Succeeix quan un sistema passa de tenir un únic estat estable a tenir dos estats estables possibles, mentre que l’estat original es torna inestable.
Imagineu una bala al fons d’un bol, el que significa un mínim d’energia potencial. Si ara la forma del contenidor canvia gradualment fins a desenvolupar un bony al centre (passant a tenir forma de “W” o cul d’ampolla de vi), el centre es torna un turó inestable. La bala rodarà suaument cap a una de les dues noves valls laterals.
Matemàticament, prop del punt crític, el sistema obeeix l’equació simplificada (forma normal):
On r és el paràmetre de control. Si r < 0, l’ únic equilibri estable és x = 0. Si r > 0, l’origen x=0 es torna inestable i neixen dos nous equilibris estables en:
I les noves branques apareixen de forma contínua i suau.
Vegem ara amb experiments alguns exemples d’aquesta bifurcació supercrítica, que malgrat el seu adjectiu qualificatiu tant rimbombant, no produeix cap crisi.
Experiment 1: El Pandeig de Euler
El vinclament d’un regle és l’exemple més pur i fàcil de replicar i il·lustra com una estructura sota compressió perd la seva estabilitat axial.
Només es necessita un regle de plàstic flexible, una tira metàl·lica fina o un fluix. L’experiment consisteix en subjectar el regle verticalment recolzant-lo sobre una taula i pressionar suaument cap avall des de l’extrem superior, i anant augmentant la força aplicada (aquest és el nostre paràmetre de control r de la fórmula).
Què és el que passa?
Abans del punt crític, amb poca força F, la regla es manté recta. El material absorbeix la compressió. L’estat “recte” (x=0) és estable.
En el punt crític és quan s’assoleix la càrrega crítica d’Euler on la posició recta ja no pot sostenir l’energia de deformació axial:
on E és el mòdul d’elasticitat, L la longitud i I el moment d’inèrcia al voltant de l’eix de la regla en el que té el valor més petit (el regle sempre pandejarà doblant-se per la part més estreta, de manera que si en lloc d’un regle tenim un pal de secció circular la direcció del vinclament és imprevisible).
Després del punt crític, quan la força que s’aplica és més gran que la crítica (F > Fc), la regla pandeja sobtadament, corbant-se a dreta o a esquerra. Ambdós estats flexionats són els nous mínims d’energia, mentre que l’estat “recte” passa a ser un màxim inestable. En retirar la força, el camí de retorn és idèntic al d’anada (no hi ha histèresi).
Experiment 2: Compte en un cercle giratori
Un clàssic de la mecànica per il·lustrar la competència entre la força gravitatòria i la força centrífuga (en un sistema de referència no inercial, el centre de masses de la boleta). que ara el mirarem més des del punt de vista de les bifurcacions.
Per porta-ho a terme hem de fabricar un cèrcol de filferro rígid amb un petit compte foradat enfilat al filferro que pugui lliscar amb fricció mínima. Per a fer girar el cèrcol sobre el seu eix vertical pot anar bé un petit motor de corrent continu de velocitat variable. Es pot fer girar també amb les mans o amb l’ajut d’un pes a traves d’una politja.
Per observar el fenomen heu de fer girar el cèrcol i mirar la posició del compte a mesura que augmenta la velocitat angular, ω.
Què és el que anirà passant?. Podeu mirar-vos el que explica el professor D. Kartofelev, però per començar teniu aquesta petita explicació a continuació:
Quan gira en condicions ideals (sense fregament, per exemple) el compte de massa m està sotmès a la component tangencial del pes (m·g·sinθ, cap a baix) i a la component tangencial de la força centrífuga (m·ω2·R·sinθ·cosθ, empenyent cap amunt). A l’equilibri tenim:
m·g·sinθ = m·ω2·R·sinθ·cosθ
A baixa velocitat angular (ω < ωc), l’única solució és sinθ = 0, θ = 0, és a dir, la gravetat domina i el compte descansa en el fons (equilibri estable).
A alta velocitat (ω > ωc), en dividir per sinθ, apareix una nova solució real:
El fons (θ=0) es torna inestable, i el compte “puja” fins a estabilitzar-se a un angle d’equilibri, θeq. Si ara tornem a baixar la velocitat angular, la boleta anirà descendit fins a la posició inicial a baix de tot. Com en el cas de la regla, el camí de retorn és igual que el d’anada, sense histèresi.
El punt crític, el punt de bifurcació, on neix aquesta nova situació (és a dir, quan cosθ = 1), ocorre exactament quan la velocitat angular (crítica) val:
Experiment 3: Estudi de la rotació d’una barra suspesa per un extrem
Aquest experiment és conceptualment similar al del cèrcol, però mecànicament més simple de construir, i el que us explico es basa en el muntatge proposat per Salvador Gil, del que he parlat al començament.
Igual que en l’experiment anterior, jo us faré cinc cèntims, però podeu mirar el que explica el professor Gil (2016) al seu llibre a l’Estudio de una barra en rotación- Una paradoja divertida (Capítol 23. Pàgina 288) que desenvolupa totes les equacions que introdueixo a sota, i també un article de Frédéric Moisy (2003), Supercritical bifurcation of a spinning hoop, del American Journal of Physics (71 (10)), en el que es basa Gil.
Com a materials per l’experiment només es necessita un tub d’alumini petit o un boli bic (aprox. 15-20 cm de longitud, h), lligat per un extrem a un fil fi de longitud L (amb L >> h). L’ altre extrem del fil es connecta a l’ eix d’un motor de velocitat variable (si ens interessa fer un tractament quantitatiu) o es fa girar amb la mà.
El procediment consisteix en activar el motor de manera que el fil i la barra giren amb velocitat angular ω. Després s’ha d’augmentar la velocitat gradualment.
Què és el que passa?
En el sistema de referència de la barra rotant, existeixen dos moments de força sobre el centre de massa competint, el torc gravitatori:
que intenta mantenir la barra vertical, i el torc que es calcula integrant la força centrífuga que pateix cada bocinet de massa. dm, al llarg de tota la barra, i que és el que intenta aixecar-la.
Igualant ambdós moments de les forces:
A freqüències baixes, l’única solució real és θ = 0 (vertical). En simplificar sinθ, apareix la nova situació d’equilibri:
on hem substituït 6g/h per ωc2 .
Perquè aquest angle, θ, existeixi (ja que el cosinus no pot ser major que 1), s’ha de superar la velocitat angular crítica (en la nostra aproximació on L >> h):
Si superem aquesta velocitat, la barra comença a elevar-se suaument rotant en un con cada vegada més obert. Si ara anem disminuint la velocitat, la barreta anirà girant cada vegada més vertical fins que ho estigui totalment.
Experiment 4: Convecció de Rayleigh-Bénard
La convecció de Rayleigh-Bénard és un exemple termodinàmic fascinant que es pot veure a la cuina amb oli en un petit recipient. Es tracta de la formació de cel·les de convecció en fluids viscosos per transferència tèrmica.
En el vídeo de sota Keith Ramsey, professor i divulgador de ciències de Indiana, ens explica com produir cel·les de Bénard amb oli d’oliva i pols de mina de llapis, i en el seu treball de fi de grau de Física Inestabilidades térmicas: Célula de Bénard, Ibon Enbeita aprofundeix en el fenomen amb prou detall, però si ho voleu més curtet teniu a continuació una descripció més casolana.
Per a reproduir l’experiment necessitem un recipient de vidre amb el cul pla (millor tipus Pyrex), o una placa de Petri o una tapa llauna metàl·lica. Com a fluid un oli de cuina (l’oli de silicona funciona millor, però el de gira-sol o d’oliva serveix) y una font de calor com pot ser la cuina elèctrica, una espelma o una bombeta incandescent col·locada sota el contenidor, o millor un vas ple d’aigua quasi bullint.
Per a barrellar amb l’oli i aconseguir que l’efecte es vegi més bé també faria falta una mica de canella en pols, pols fi de purpurina o de mica, o mina de llapis picada molt fina.
Per a preparar el fluid aboqueu una capa fina d’oli al recipient d’aproximadament 2 -3 mm de gruix per assegurar que es formin cel·les i no turbulències. Després afegiu una petita quantitat de purpurina o pols de grafit (el visualitzador) sobre l’oli, que, com he dit, ajudarà a veure el moviment del fluid.
La clau està en escalfar suaument, per això pot ser el més convenient és col·locar el recipient sobre el got que té l’aigua calenta, procurant que la boca del vas sigui més o menys de la mateixa grandària del recipient que li col·loquem amunt. Ara s’ha d’esperar i veureu que en un moment determinat l’oli calent que puja es refreda i baixa a l’arribar a la superfície, formant cèl·lules amb patrons més o menys hexagonals.
Què diu del fenomen la Física?
El paràmetre de control és el gradient de temperatura, caracteritzat pel Número adimensional de Rayleigh:
- g, l’acceleració de la gravetat (en m/s2) és la força impulsora que empeny el fluid dens cap avall.
- β és el coeficient d’expansió tèrmica volumètrica (en K-1 ó 1/ºC). Mesura quant disminueix la densitat del fluid en escalfar-se.
- ∆T és la diferència de temperatura entre la placa inferior (calenta) i la placa superior (freda) (en K ó ºC).
- d és el gruix o altura de la capa de fluid (en m). Aquest valor influeix molt ja que està elevat al quadrat.
- ν és la viscositat cinemàtica del fluid (en m2/s). Representa la resistència interna del fluid a moure’s (força de fricció).
- Α és la difusivitat tèrmica del fluid (en m2/s). Mesura la velocitat amb què el fluid dissipa la calor per conducció pura de forma molecular.
Quan el gradient és baix (Ra < Rac), la flotabilitat del fluid calent en el fons és retinguda per la viscositat de l’oli i la calor puja només per conducció tèrmica, de manera que el repòs macroscòpic és l’estat estable.
Quan el gradient assoleix un valor llindar, en el punt crític (sembla ser que pel nostre experiment, base rígida, superfície lliure i uns 2 – 3 mm de gruix, el seu valor estaria sobre Rac ≈ 1100), les forces viscoses ja no poden aturar la flotabilitat.
Després d’aquet punt crític l’estat de repòs es torna inestable enfront de qualsevol pertorbació tèrmica de manera que el sistema bifurca suaument cap a la convecció: el fluid calent puja i el fred baixa formant patrons organitzats i estables, les típiques cel·les de Bénard hexagonals.
Si es deixa d’escalfar, les cel·les desapareixen.
Experiment 5: La bala a la copa invertida
Aquí teniu un experiment molt xulo que podeu fer a la sobretaula del proper sopar amb els companys de feina i que obeeix a les mateixes lleis que el cercle giratori.
Només es necessita que les copes de vidre tinguin forma de bola (tipus conyac o gintònic) de manera que la boca sigui més estreta que l’equador (la part més ampla de la copa) i que no siguin molt fines, no sigui que les trenqueu. També una bala (millor de fusta o de goma) i una taula llisa. Col·loqueu la bala a la taula i presumiu de que sou capaços de ficar-la a la copa sense tocar la boleta. S’admeten apostes.
Entreu en acció posant la copa invertida (boca avall) sobre la bala, atrapant-la dins i comenceu a realitzar petits moviments circulars amb la mà agafant a la base de la copa, forçant la boleta a girar per les parets internes. Augmenteu la velocitat angular de gir cada vegada més fins que la bala pugi girant al centre de la copa. Ara no teniu més que girar la copa (és la part més difícil de fer-la amb èxit) ficant-la amb la boca cap amunt i, voilà!, ja és a dins.
Què és el que ha passat?
En ser la boca més estreta que el centre de la copa, les parets internes, a prop de la taula, s’obren cap enfora i cap amunt. Això fa que la força normal de la paret sobre la bala tingui una component cap amunt.
A baixa velocitat la força centrípeta és petita, la paret empeny poc a la bala i la component vertical no venç a la gravetat, de manera que la boleta gira enganxada a la taula (equilibri estable en z=0).
En assolir una velocitat angular crítica ωc, la força centrípeta genera tal pressió contra la bala que la component cap amunt de la força normal contraresta exactament la component cap a baix del pes de la boleta i la taula deixa de ser necessària per sostenir-la.
A partir d’aquest punt crític la bala s’enlaira de la taula i puja de forma contínua i suau per la corba interior de la copa a mesura que s’incrementa la velocitat buscant un nou equilibri, fins a orbitar en la part més ampla (l’equador). Si ara es redueix la velocitat, descendeix suaument pel mateix camí, mostrant aquesta transició contínua i sense salts bruscos el que és una bifurcació supercrítica.
Experiment 6: El Pèndol de Kapitza (pèndol invertit)
El Pèndol de Kapitza (pèndol invertit) és un exemple fascinant de com una vibració d’alta freqüència pot estabilitzar una posició que originalment era inestable (estabilització dinàmica), creant una nova bifurcació estable.
Per portar a terme l’experiència es necessita, tal i com ens explica el profesor Manuel Rodriguez-Achach en el vídeo de dalt, o les Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations, un pèndol rígid lleuger (com una vareta de plàstic o d’acer) acoblat pel seu pivot a una serra de calar.
El més difícil és aconseguir acoblar el pèndol a la serra de calar, però una vegada teniu el dispositiu, si col·loqueu el pèndol en la posició invertida (cap amunt) sense vibració, com aquesta posició és inestable, el pèndol cau immediatament cap avall.
Si ara fiqueu en marxa el motor perquè el suport vibri verticalment a la freqüència de la serra, resulta que la vareta es queda estable en la posició invertida i no cau.
Què és el que passa?
A baixa freqüència de vibració aquesta no és suficient per contrarestar la gravetat; la posició invertida continua sent inestable. En superar una freqüència llindar, la “massa efectiva” dinàmica del sistema canvia. La vibració genera una força restauradora mitjana (un potencial efectiu de Kapitza) que supera el moment de la força gravitatòria que intenta fer caure el pèndol.
Després del punt crític el pèndol es queda balancejant-se de forma estable apuntant cap amunt! L’estat inestable original s’ha convertit en estable gràcies a la inducció d’una bifurcació?.
Fórmula del Potencial Efectiu
Per a un pèndol de longitud l i massa m amb una vibració vertical de l’ancoratge y(t) = a cos(ωt), el potencial efectiu Vef al voltant de l’angle θ (entre la vertical i la massa) es pot aproximar com:
El primer terme és el potencial gravitatori.
El segon terme és la contribució de la vibració ràpida.
Quan la freqüència ω és molt alta, el segon terme pot superar el primer, creant un mínim estable a θ = π (posició vertical invertida).
Bifurcació Subcrítica: El salt abrupte
La gran diferència entre una bifurcació supercrítica i una subcrítica rau en la forma de la transició. En la bifurcació subcrítica, quan l’estat d’equilibri original perd estabilitat, no existeixen estats estables propers als quals transitar suaument. El sistema experimenta un canvi violent, un “salt catastròfic” cap a una configuració d’equilibri molt allunyada. A més, aquests sistemes presenten histèresi, és a dir, el camí d’anada no és igual al de tornada. Si reverteixes el paràmetre de control, el sistema no recupera el seu estat original en el mateix punt on el va perdre.
Matemàticament, la forma normal (afegint un terme de cinquè ordre per assegurar que no divergeix a infinit) és:
El signe positiu en el terme x3 és el culpable ja que, una vegada pertorbat lleugerament l’origen, la força empeny de manera accelerada lluny de l’equilibri.
Experiment 7: El Col·lapse d’una Llauna
Aquest experiment mostra per què la fallada estructural, que entra dins el que anomenem bifurcació subcrítica, és el malson de l’enginyeria de ponts i submarins.
Per portar a terme l’experiment cal una llauna de refresc d’alumini buida (sense abonyegaments) i peses planes (com llibres, per exemple). S’ha de col·locar la llauna de peu al terra i anant afegint pes a la part superior amb molta cura i perfectament centrat fins que arriba un moment en el que la llauna es xafa.
Què és el que passa?
Quan la carrega damunt la llauna és baixa les parets cilíndriques primes aguanten el pes per compressió axial. L’estat de cilindre perfecte és estable.
Una vegada que arribem a posar a sobre de la llauna la quantitat de llibres que suposen la càrrega crítica, si afegim uns pocs grams extres, la llauna no es deforma una mica, sinó que en una fracció de segon la paret col·lapsa abruptament i la llauna s’aixafa.
A diferencia dels experiments primers sobre la bifurcació supercrítica, aquí, si ara traiem aquests últims grams crític que han causar el col·lapse, la llauna no recupera la seva forma inicial (histèresi irreversible) ja que el sistema ha caigut en un pou d’energia que no en te res a veure amb la situació inicial.
A més, aquest tipus de bifurcació és extremadament sensible a imperfeccions. Per exemple, si la llauna tenia un diminut copet previ en un costat, el col·lapse ocorrerà amb molta menys càrrega que la que teòricament correspondria.
Experiment 8: La Xapa Metàl·lica “Clic-Clac”
Aquest és un exemple diferent i no destructiu d’histèresi i salt subcrític, també molt senzillet. En enginyeria mecànica a aquest tipus de situacions són àmpliament estudiades i se’ls anomena Snap-through buckling (Vinclament per pressió).
Per a fer aquesta experiència ens hem de fer amb una pinça de pèl metàl·lica plana (de les que fan “clic-clac”) o comprar la joguina que consisteix en una tapa de goma esfèrica invertida (un joguet saltarí, Dropper Popper) que al pressionar-la, passa d’una curvatura convexa a una còncava sobtadament (també serveix una pilota de tennis tallada per la meitat. Alternativament podem fer l’experiment amb una cinta mètrica metàl·lica enrotllable.
Amb la pinça de pel o la mitja esfera heu de pressiona el centre de la xapa (o la goma) convexa lentament fins que canviï d’estat, i ja està.
Què és el que passa?. En aplicar pressió (força F), la xapa cedeix molt poc i de forma elàstica, acumulant molta energia. És un equilibri estable però resistent.
En arribar a una força crítica Fc, l’estructura sencera pateix un salt ràpid (snap-through) invertint la seva concavitat. Passa abruptament al segon estat d’equilibri.
Per tornar a l’estat original, has de retirar gairebé tota la força (o fins i tot tirar en sentit contrari, depenent del disseny), ocorrent el salt invers a una força molt menor a Fc. Hi ha un cicle d’histèresi clar.
Amb una cinta mètrica s’han de treure com dos metres de cinta i ficar-la tota ella sobre una taula amb la part còncava cap amunt. Poc a poc es va deixant que sobresurti de la taula fins que arriba un moment que la cinta que anava vinclant-se es doblega sobtadament. A continuació s’ha de anar retirant la cinta sobre la taula fins que amb un altre clic torna a ficar-se quasi horitzontal.
Aquest Nadal passat 2025 des d’Alemanya ens van obsequiar com cada any amb un calendari d’Advent molt especial: Physics in Advent, on presenten al mes de desembre 24 petits experiments de física a la canalla i a qualsevol que vulgui gaudir. L’experiment 5 d’aquest any anava precisament de la cinta mètrica i aquí sota teniu el vídeo en el que donaven la solució a l’enigma.
Experiment 9: Aparell mecànic per a la Catàstrofe de Plec
En aquest experiment us presento un altre cas de bifurcació subcrítica que s’anomena catàstrofe o bifurcació de plec (saddle-node bifurcation), que és un mecanisme que provoca un salt abrupte en un sistema dinàmic por desaparició dels punts d’equilibri.
L’experiment, que es pot reproduir fàcilment amb el material que hi ha en un laboratori d’un centre de secundària, el van pensar M. Fiolhais i altres (2021) i l’expliquen a l’article Mechanical apparatus for the fold catastrophe demonstration en l’European Journal of Physics.
L’aparell a muntar consisteix en una barra unida a una corriola, al centre la qual està unit l’extrem una barra curta. En la politja està enrotllat un fil del que penja un pes. El sistema barra-pes pot realitzar oscil·lacions estables però pot arriba una situació en la que el cos pot caure a terra mentre la corriola va girant continua i acceleradament, com es veu en el vídeo.
Què és el que passa?
Hi ha una situació inicial d’equilibri entre el moment del pes de la barra i el moment del pes que penja i aquí es manté l’equilibri encara que es giri una mica i lentament la politja, però si s’augmenta una mica el pes (que determina r) de la pesa el sistema es torna inestable i la pesa cau a terra.
Matemàticament, la forma canònica d’aquesta bifurcació és:
De manera que l’equilibri pot ser estable per quan r > 0, encara que aquí existeixen dues solucions (arrels): una estable (x = +√r), quan es gira la politja només una mica i una inestable (x = -√r).
El punt crític (el plec) s’aconsegueix variant el pes que penja, de manera que el paràmetre r s’acosta a 0 i les dues solucions (+√r i -√r) s’acosten mútuament fins que en r = 0 col·lisionen i s’aniquilen.
Per r < 0 ja no existeixen solucions reals (l’arrel quadrada d’un número negatiu és imaginaria), l’equilibri ha desaparegut per complet i s’ha produït el salt (la catàstrofe). Físicament, el disc ja no es pot sostenir i comença a girar de cop, caient cap a un estat d’equilibri totalment diferent i llunyà, de manera que aquest aparell ens mostra visualment el moment exacte en què un equilibri desapareix i obliga el sistema a una transició abrupta.
Quadre Comparatiu Resum
| Característica | Supercrítica | Subcrítica |
| Transició | Continua, suau (“baixar una rampa”). | Discontínua, abrupta (“caure per un precipici”). |
| Previsibilitat | Alta. El sistema avisa deformant-se lentament. | Baixa. Falla sense previ avís. |
| Histèresi | NO. El camí de tornada és idèntic. | SÍ. Requereix re-parametrització profunda per recuperar l’ estat original. |
| Exemple | Regla pandejada, Aro giratori. | Llauna aixafada, Xapa clic-clac. |
Per ampliar
Steven H. Strogatz és el titular de la càtedra “Susan and Barton Winokur Distinguished Professorship for the Public Understanding of Science and Mathematics” de la Universitat de Cornell, creada en 2023 per a fomentar la divulgació científica, i així, l’objectiu d’Strogatz és comunicar conceptes matemàtics i científics complexes al públic general, mostrant la seva rellevància en la vida quotidiana.
Us parlo d’aquest professor perquè ha escrit un llibre (amb diferents edicions) que tracta sobre el tema d’aquesta entrada titulat Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (2015) en el que hi ha un tercer capítol de la part 1 que parla de les bifurcacions i d’algun dels exemple que he ficat. Entre que és americà (i els americans escriuen els llibres per als que no en saben) i divulgador, les explicacions son més entenedores del que jo havia esperat.
El llibre val uns diners però està accessible per internet en molts llocs (un, el que he enllaçat), així que espero que no sigui pecat fer-li una ullada 😉.
Experimentació lliure 