En el nostre imaginari col·lectiu, associem la caiguda dels cossos a l’acceleració de la gravetat g = 9,8 m/s². Si deixem anar una pedra, sabem com accelerarà. Però, què passa quan l’objecte no cau lliure, sinó que està subjecte per un extrem?.

En el cas de pals, mastelers o xemeneies que pivoten sobre la seva base entrem en el domini de la dinàmica del sòlid rígid. Aquí, la geometria i la distribució de la massa juguen un paper contra-intuïtiu, de manera que certes parts dels objectes poden arribar a caure amb una acceleració significativament superior a la de la pròpia gravetat.

Tot això ens lo explica el estupend divulgador i enginyer químic James Orgill en el vídeo de sota, però jo us faré cinc cèntims a continuació.

1. La física darrere del fenomen
2. L’experiment del vas i la pilota
3. El trencament de les xemeneies en caiguda

La física darrere del fenomen

Per entendre per què passa això, hem d’analitzar les forces i els moments que actuen sobre un pal homogeni de massa m i longitud L que gira sense fricció sobre un eix situat a la base.

El moment de la força pes actua sobre el centre de masses del pal (situat a r = L/2). El moment M_p (o torc, τ) depèn de l’angle d’inclinació θ respecte a la vertical:

El moment d’inèrcia (la resistència a la rotació) per a una barra prima que gira sobre un dels seus extrems es defineix com I = (1/3)·m·L² . Si ara apliquem la segona llei de Newton per a la rotació M_p = I·α, on α és l’acceleració angular:

A l’extrem lliure del pal (distància r = L), l’acceleració tangencial (a_t) cap avall és:

La condició crítica es planteja quan l’extrem del pal acceleri més ràpid que la gravetat (a_t > g), quan:

Això passa aproximadament a partir dels 41,8° d’inclinació. Raonant a l’inrevés, com l’acceleració tangencial a l’extrem lliure (r = L) és 1,5·g·sin(θ), quan l’angle d’inclinació supera els 41,8° l’acceleració supera la de la gravetat (a_t = 1,5·g·sin(41,8) = 9.8 m/s²).

L’experiment del vas i la pilota

Aquest principi s’il·lustra perfectament amb un experiment clàssic de laboratori que he utilitzat tradicionalment amb molt d’èxit en les fires de divulgació científica i que feia servir quan al batxillerat s’estudiava el sòlid rígid (en el 2022 es va tornar a introduir).

El sorprenent experiment consisteix en un llistó de fusta que pot girar sobre un dels seus extrems i que te en el seu extrem lliure una petita plataforma amb una piloteta i, just al costat (més a prop de l’eix de gir), te fixat un vas, tal i com es veu a la captura de dalt del vídeo de The Action Lab. L’angle inicial ha de ser tal que la piloteta estigui en la vertical d’on es trobarà el vas quan el llistó quedi quiet a baix.

En deixar anar el pal, aquest comença a caure girant sobre la base. Com que l’extrem del pal i el vas tenen una acceleració tangencial superior a g (inclinació més gran de 41,8°), el pal “s’escapa” de la pilota. La pilota cau en línia recta amb una acceleració vertical de 9,8 m/s², però el vas cau més ràpid (amb més acceleració) i es col·loca sota d’ella, atrapant-la abans d’arribar al terra.

El trencament de les xemeneies en caiguda

Aquest mateix fenomen explica per què les xemeneies de les fàbriques antigues es trenquen en l’aire quan són enderrocades. Quan la xemeneia s’inclina, cada secció de l’estructura voldria accelerar (amb diferent acceleració tangencial segons la distància a la base, r) en funció de la fórmula de l’acceleració tangencial però, al ser un sòlid rígid, les forces internes intenten mantenir l’estructura unida, com en el cas anterior del llistó.

A mesura que la inclinació de la xemeneia augmenta, el moment de la força per mantenir l’acceleració angular igual en tota la xemeneia ha de ser molt més gran quant més en allunyem de la base, el que fa que la part superior generi un esforç de flexió enorme sobre la secció central.

Les xemeneies de maons tenen molta resistència a la compressió però molt poca a la tracció. Quan l’acceleració angular és tan alta que les forces internes de cohesió no poden obligar la part superior a seguir el ritme de la rotació, apareixen esquerdes de manera que la xemeneia es plega sobre si mateixa i es trenca en dos o més trossos abans de tocar terra.

És a dir, la causa del trencament les xemeneies no és l’impacte al terra sinó el moment flector (Bending Moment, N_b) que es genera a causa de la inèrcia de la part superior que es resisteix a l’acceleració angular imposada per la base. Per a una xemeneia uniforme, el moment flector  a una distància r de la base es pot calcular com:

N_b = 1/4·m·g·L·sin(θ)·[(r/L)³ – 2(r/L)² + (r/L)]

Per trobar el punt on l’esforç és màxim (i on és més probable que es trenqui, punt de ruptura), derivem el moment respecte a r i igualem a zero:

d(N_b)/dr = 0  =>  3(r/L)² – 4(r/L) + 1 = 0

Les arrels d’aquesta equació quadràtica són r/L = 1 (l’extrem) i r/L = 1/3. Per tant, el moment flector màxim es produeix a un terç de l’alçada de la xemeneia des de la base. Mireu el següent vídeo amb varies caigudes de xemeneies, a veure si si aquesta última deducció té alguna raó.

---